Две линии, соединяющие 4 строки в 3-х пространстве

Spread the knowledge

Две линии, соединяющие 4 строки в 3-х пространстве

Original page: http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/4lines.html

Фрэнк Соттиле

14 января 1998 года
Торонто, КАНАДА

Значение изображения: на этом рисунке показано, что при использовании четырех общих линий (3 синего и одного пурпурного) в обычном 3-пространстве будут встречаться две красные линии, соответствующие всем четырем.

Один из способов увидеть это – сначала рассмотреть три синие линии. Если они взаимно искажены, они будут лежать на гиперболоиде одного листа. На гиперболоиде одного листа есть два семейства линий, и каждый член одной семьи встречает каждого члена другого семейства. Синие линии находятся в одной семье, а набор линий, которые соответствуют всем 3 синим линиям, – это другое семейство (красным). Если мы теперь рассмотрим четвертую пурпурно-прямую линию, она встретит гиперболоид в двух точках – пурпурных точках. Через каждую из этих пурпурных точек во второй семье будет уникальная линия. Эти две линии – это две линии, которые соответствуют нашим четырем строкам.

Реальность этого обсуждения.

Тщательный читатель заметит, что пурпурная линия не должна пересекать гиперболоид в двух точках – помимо случая касания (что приводит к решению, подсчитанному с кратностью 2) – оно может быть не пересекается с гиперболоидом. Это показывает, что правильная настройка для этой проблемы связана с комплексными числами, где пурпурная линия всегда будет соответствовать гиперболоиду. Это проявление общего факта: по комплексным числам перечисляемые геометрические вопросы такого рода всегда имеют одинаковое количество решений.

На этом рисунке показана особенность реальных чисел, что количество решений таких вопросов может зависеть от тонких свойств конфигураций условий. В общем, трудно решить, сколько реальных решений существует. Верхняя граница задается числом комплексных решений. Можно спросить:

Когда эта верхняя граница достигается реальными решениями?

В недавней теореме говорится, что эта верхняя грань достигается по многим проблемам в перечислительной геометрии, которые возникают из исчисления Шуберта. Это также достигается для некоторых задач подсчета рациональных кривых в многообразии Грассмана и для многих задач, связанных с флагами.

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *